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独孤信印与秦汉酒骰的几何学
[版面:中华古典文化][首篇作者:chinabbsdad] , 2019年01月10日08:31:13 ,59次阅读,0次回复
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发信人: chinabbsdad (张果老他爹), 信区: ChineseClassics
标  题: 独孤信印与秦汉酒骰的几何学
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Jan 10 08:31:13 2019, 美东)

原创:刘钝 科学春秋 科学春秋 微信号 kexuechunqiu
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意大利画家Jacopo de' Barbari的《帕乔利肖像》(1495年),现藏那不勒斯卡波迪蒙
特宫

撰文 | 刘  钝

● ● ●

从独孤信及其印谈起

独孤是南北朝时代北方鲜卑族大姓,金庸小说中有个不曾露脸的武林高手就叫独孤求败
,不过今天这里介绍的却是历史上的一个真实人物,他就是先后历经西魏(期间还短暂
仕南梁)和北周的大将军独孤信(公元502-557年)。独孤信原名如顺,云中(今内蒙
古托克托县)人,本是西魏八柱国之一。这些“柱国”有多厉害,说出其中的三个人就
知道了:第一位是宇文泰,八柱国之首,西魏的实际统治者,其子宇文觉为北周开国皇
帝;李虎,其孙李渊是唐朝开国皇帝;李弼,隋末天下大乱时瓦岗军首领李密乃是他的
曾孙。

再说独孤信,史称“美容仪,善骑射”,“好自修饰,服章有殊于众,军中号为独孤郎
”,某日傍晚歪戴帽子纵马入城,“诘旦,而吏民有戴帽者,咸慕信而侧帽焉”。清初
那个唯美主义诗人纳兰性德就把自己的首部词集取名为《侧帽集》。独孤信的武功也好
生了得,曾经单枪匹马生擒敌酋。由于战功卓著,先后任别将、散骑侍郎、郡守、大都
督、武卫将军、骠骑大将军、刺史、河内郡公、尚书令、大司马、太保、大宗伯等要职
,最后晋封卫国公。

独孤信共生有六子七女,六子俱任官并封侯封伯,七女都嫁了当时的权贵,其中三位成
了皇后(或皇太后):长女嫁给北周第二位皇帝宇文毓,是为明敬皇后;四女嫁给李渊
的父亲李昺,后来被李渊追尊为元贞皇后;七女嫁给隋朝开国皇帝杨坚,辅佐夫君推行
“开皇之治”,这就是以崇俭、笃信佛教而出名的独孤伽罗皇后。独孤信一身兼三朝皇
帝的岳父,被网友称为“史上最牛老丈人”。

北周初年,因介入宇文家族的帝位继承人之争,独孤信被权臣宇文护逼迫自尽,时年五
十五岁。1953年,独孤信墓在陕西咸阳市底张湾出土,形制非常简朴,推测是迫于形势
草葬所致。墓志铭文16行共220字,记述了墓主的姓氏、籍贯、家世、卒年、葬日、葬
地,以及夫人和三个儿子的名字。今存国家博物馆。

1981年,陕西省旬阳县一个叫宋清的中学生,在上学路上捡到一枚规则多面体形状的印
章,由煤精石磨制而成。仔细观察,印章共有48条基本等长(约2厘米)的棱、18个正
方形面和8个正三角形面,其中14个正方形面上刻着楷书阴文,分别是“臣信上疏”、
“臣信上章”、“臣信上表”、“臣信启事”、“大司马印”、“大都督印”、“刺史
之印”、“柱国之印”、“独孤信白书”、“信白笺”、“信启事”、“耶敕”、“令
”、“密”,集官印、上书专印、日常文书印于一身,在历代印章中还未见过类似物件
。现为陕西历史博物馆收藏。

独孤信于西魏大统十六年(公元550年)奉命出讨东魏,还朝后迁尚书令、拜大司马,
而印文中已含“大司马印”,可以断定此印制作的时间最早不过那一年。其时独孤信声
威日隆,不但身为八柱国之一,长女、四女也已分别嫁入豪门宇文泰家族、李虎家族,
可谓一时之盛。

这枚印章的形状是一种半正多面体。半正多面体的表面是两种或两种以上的全等正多边
形,其棱长则完全相等。共有13种凸的半正多面体,据说是公元前三世纪阿基米德最早
发现的,所以它们也被称作“阿基米德多面体”(Archimedean polyhedra)。此说来
自三世纪亚历山大里亚的帕普士,然而阿基米德现存著作中没有这方面的内容。现实生
活中也极少见到这种形状的器物,15世纪末意大利画家德巴巴里(Jacopo de' Barbari
)在《帕乔利肖像》(1495)中画了一个悬在空中的水晶多面体,其构造与独孤信印完
全一致,有人称其为26面体,更准确点应该是48等边半正多面体。



图1 独孤信印



图2 《帕乔利肖像》中的水晶多面体

古代多面体酒骰及其他器物

1968年,河北满城发掘出西汉中山靖王刘胜及其妻子窦綰之墓,除了金缕玉衣、长信宫
灯等众所周知的珍贵文物之外,后者墓室还出土了一件极为精美的酒骰,《满城汉墓发
掘报告》称:

铜骰一件(2:3064),与“宫中行乐钱”同出。通体错金银。共十八面,分别错出篆书
或隶书“一”至“十六”以及“酒来”和“骄”字(后二面对称)。“一、三、七、十
、骄、酒来”等六面为错金地错银一周,另十二面为嵌银地错金一周。在各面孔隙间,
用金丝错出三角卷云纹,中心镶嵌绿松石或红玛瑙。骰径2.2厘米。

报告没有提及“在各面孔隙间,用金丝错出三角卷云纹”的个数,实际上共有8个,因
此这个酒骰共有26个面,与独孤信印几何同构;只要把错有数字与文字的18个面视为正
方形,把错有三角卷云纹的8个面视为正三角形,就是一个标准的48等边半正多面体。



图3 窦綰墓出土错金银铜骰



图4 窦綰墓出土错金银铜骰线图[李零2016,454页]

李零新著《万变》中有一节专门讨论古代酒骰,内中提到具有相似结构的文物,目前已
知的至少还有四件,它们的形制基本相同,而且都是西汉年间物品。他还指出:“这种
赌具,有四面体(每面为三角形)、六面体(每面为正方形)和增加切削面因而近似球
形的多面体。……出土发现,战国秦汉的骰子多作十四面体或二十六面体,属球形多面
体。增加切削面,目的是增加选择的机遇。”

其他四件26面体西汉骰子分别是:(1)临淄大武齐王墓随葬坑出土西汉铜骰,1978年
在山东淄博大武乡窝托村齐王墓随葬坑5号坑出土,共两件,分别标数字“一”至“十
六”以及“骄”、“畏妻”字;(2)山东省博物馆藏西汉铜骰,旧属清代金石学家、
山东潍县(今潍坊市)人陈介祺;(3)海外收藏的错金银西汉铜骰,此为麦肯齐等编
著的《亚洲游戏:竞争的艺术》(Colin Mackenzie & Irving Finkel.2004. Asian
Games: The Art of Contest,New York: Asian Society.p.43)一书所录,与满城汉
墓所出最为相似;(4)湖南长沙马王堆西汉长沙相利仓之子墓随葬漆骰,1973年出土
,所出漆木盒内还有博局、博棋、博筹等物。









图5 其他四件西汉骰子(上起:上述编号1-4)

作为一位人文学者,李零指出以上五件酒骰形制相同并联系到独孤信印,其观察是十分
精准的;从文物考古的角度来看,说这五件西汉酒骰“属球形多面体”也不为错。至于
二十六面体怎样切削,不是他关注的要点。《万变》一书给出的两幅骰子表面展开图也
只是示意图,图6中的诸圆面与正三角形面无法拼出多面体来。

从数学上讲,以上五件酒骰皆与48等边半正多面体同构,其表面展开图应如图7所示。



图6 窦綰墓出土铜骰表面展开图[李零2016,454页]



图7 窦綰墓出土铜骰表面展开图[刘钝 2018]

除了上述独孤信印和西汉酒骰外,笔者还注意到另一件呈48等边半正多面体的古代器物
。 2016年11月,笔者在中国科技大学博物馆参观古代玉器特展时,发现展品中有一枚
玉珠,有关说明称:

棱面珠:白色,灯笼形,通天孔,另一面打孔为方形开口,应为便于安装固定之需。周
身起愣若干,甚为罕见。

其来源未明,据云系唐代物品,与一玛瑙质地的马球置于一处;其形制与独孤信印完全
一样而近似于上论西汉酒骰,是一个标准的48等边半正多面体。



图8 唐代48等边半正多面体玉珠

梅文鼎与孔林宗的半正多面体工作

在群论诞生以前,从几何结构上对半正多面体进行研究的不多。根据英国著名的希腊数
学史家希斯(Thomas Little Heath, 1861-1960),保存在梵蒂冈图书馆的一份帕普
士手稿的评注片段,包含一种通过正多面体截面获得某些半正多面体的方法。德国天文
学家刻普勒在《宇宙的和谐》(Harmonices Mundi,1619)中也提到了这种方法。此外
,意大利数学家阿尔伯蒂、帕乔利也研究过半正多面体,后者的《神圣比例》(Divina
proportione,1509)一书包括若干半正多面体框架图,据悉出自大画家达芬奇之手。

清代康熙年间数学家梅文鼎通过明末来华传教士编译的《测量全义》等书,获知正多面
体的零散知识,他又自撰《几何补编》对有关问题进行考察,内中涉及两种半正多面体
,分别命名为“方灯”(24等边半正多面体)和“圆灯”(60等边半正多面体):前者
由正6面体(或正8面体)切割而来,后者由正12面体(或正20面体)切割而来,方法都
是经由各棱的中点作截面,如图9、图10所示。



图9 梅文鼎之“方灯”[刘钝 1990,196页]



图10 梅文鼎之“圆灯”[刘钝 1990,196页]

梅文鼎在该书自序中称:“壬申(1692)春月,偶见馆童屈篾为灯,诧其为有法之形。
”说明他是由儿童戏耍的灯笼之构造获得灵感,从而研究这两种规则立体的。“方灯”
在中国、日本都比较常见,制法也相对简单。1984年2月16日元宵节夜,笔者在泉州开
元寺观赏灯会,亦曾亲睹一具“圆灯”和众多“方灯”。可见梅文鼎“馆童屈篾为灯”
之说不是虚构。

孔林宗是梅文鼎的朋友,对数学也有浓厚兴趣。在梅氏两种“灯体”的启发下,他又提
出五种多面体,皆由正4、正6或正8面体切割而成。梅文鼎刻书时将他的结论作为“附
记”收入《几何补编》,其文为:

四等面体,又可变为十八等边体:为六边之面四,为三边之面四,凡十二角。

(四等面体),又可变为二十四等面体:面皆三边,凸边二十四,凹边十二,十字之交
六,凡八角如蒺藜形。

六等面体,又可变三十六等边体:为八边之面六,为三边之面八,凡二十四角。

八等面体,亦可变三十六等边体:为六边之面八,为四边之面六,凡二十四角。

(六等面体),又可变为四十八等边体:为四边之面十八,为三边之面八,凡二十四角。

除第二种之外,其余四种都是半正多面体,即:

(1)18等边半正多面体,由正4面体切割而成:共有4个正六边形面和4个正三角形面,
18条棱,12个顶点。

(3)36等边半正多面体,由正6(或8)面体切割而成:共有6个正八边形面和8个正三
角形面,36条棱,24个顶点。

(4)36等边半正多面体(又一种),由正8(或6)面体切割而成:共有8个正六边形面
和6个正四边形面,36条棱,24个顶点。

(5)48等边半正多面体,由正6(或8)面体切割而成:共有18个正四边形面和8个正三
角形面,48条棱,24个顶点。这就是独孤信印和本文讨论的西汉酒骰以及唐代玉珠的理
想结构。

孔林宗提出的第二种多面体不是凸多面体,因此不满足欧拉定理。它是两个正交的正4
面体之公共部分:共有24个凸的正三角形面和12个凹的正三角形面,24条棱可组成6个
正交十字,8个顶点,如同蒺藜一般。蒺藜本是一种草本植物,明代兵书载有多种以蒺
藜命名的冷、热兵器和路障,多数是正多面体的变形。



图11 孔林宗提出的蒺藜形多面体



图12 《武经总要》中的铁蒺藜图

48等边半正多面体作图法

孔林宗虽然明白48等边半正多面体可由立方体(或正8面体)切割而成,但并未提出具
体的作法。中国古代的工匠也是凭着经验和对平衡对称的追求,制作出酒骰、信印等物
来的。笔者在这里提供一个精确的几何作图法。

将立方体连同其内含的48等边半正多面体置于立体直角坐标系内,如图13。关键是在立
方的六个面上作出半正多面体的诸顶点A、B等。

设立方棱长为1,半正多面体棱长为a,在图13中,有



图14表示立方体上B点所在的平面,以正方形顶点为圆心、对角线之半为半径作圆,交
正方形之边于C、E等点,过C、E等点作边的垂线,垂线的交点B1、B2等就是所求48等边
半正多面体的顶点。这是因为





图13 直角坐标系中的立方与48等边半正多面体[刘钝 2018]



图14 诸顶点B的几何作图法[刘钝 2018]

附录 13种半正多面体



上图采自《苏联大百科全书》(Большая советская энцикло
педия)第3版第27卷,其中P2、P7分别为梅文鼎讨论的“方灯”和“圆灯”,P1
、P3、P4、P5分别为孔林宗提出的第一、四、三、五种多面体,最后这一种P5也是本文
讨论的独孤信印等器物的几何同构。



参考文献

1、Heath, Thomas L. 1921. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Oxford:
Oxford University Press.

2、李零.2016.说骰——从满城汉墓出土的酒骰和“宫中行乐钱”说起.万变.北京:三
联书店.455-463.

3、刘钝. 1990. 梅文鼎在几何学领域中的若干贡献.梅荣照主编.明清数学史论文集.南
京:江苏教育出版社.182-218.

4、王彬、张沛.2001.浅析独孤信煤精组印的特点及印文.陕西历史博物馆馆刊.第8辑.
西安:三秦出版社.292-296页.

5、王长丰主编.2016. 厚德载物:200件中国古代玉器.上海:交通大学出版社.107 .

6、魏子元.2016. 侧帽风流想象中.源流运动公众号. 北京大学考古文博学院.10月27日.

7、张沛.1985.旬阳出土的独孤信多面体煤精组印.文博.第2期. 95-96.

8、张艳鸽.2014.南北朝、隋唐时期独孤家族兴衰探析——以独孤信为例. 荆楚学刊.第
3期. 24-28.

9、中国社会科学院考古研究所、河北省文物管理处.1980.满城汉墓发掘报告.北京:文
物出版社.271-273.

10、[唐]李延寿.北史.卷六十一.列传四十九.独孤信传.

11、[唐]令狐德棻.周书.卷十六.列传八.独孤信传.

12、[清]梅文鼎. 几何补编. 梅氏丛书辑要. 卷二十五至卷二十八. 乾隆二十四年承学
堂刊本.

原载《数学文化》2018年第9卷第1期
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